難しい問題とは思わなかったのに！

ええと別にそれほど難しい問題では無かろうとは思いながら、日曜日から解けずに（文章にできずに）いました。
正しい答えを与える（に違いない）二つのフォーム（テンプテートといった方がよいのか）がある。なぜその二つが同値になるのかを説明せよ、という問題です。野原フォームと２進法フォーム。前者はややこしいので後者の表記法を基準にする。
後者は基本的に一つの式しかない。
α(n)=α(n+1)*2+γ(n) γは０か１です。
前者はややこしくてすっきりしません。Ａ列をA(n)、それを２で割った余りＣ列を　C(n)とする。
ややこしいのはA(n)の定義にC(n-2)がからんでいるからです。
具体的な例で考える。
与えられた数が102の場合。
(1)
C(0)=0 A(1)=102 C(1)=0 、 この場合A(1)=α(1) C(1)=γ(1)=0　
(2)次に、
α(2)=51 で、C(0)=0,C(1)=0 ですから
A(2)=A(1)-B(1)-C(0)+C(1)=A(1)-B(1)=α(2)
C(2)=γ(2)=1
(3)次に、
α(3)=25 で、C(1)=0,C(2)=1 ですから
A(3)=A(2)-B(2)-C(1)+C(2)
A(2)-B(2)=α(3)+1 -C(1)+C(2)=0+1=1 ですから
A(3)=α(3)+2=27
C(3)=γ(3)=1
(4)次に、
α(4)=12 で、C(2)=1,C(3)=1 ですから
A(4)=A(3)-B(3)-C(2)+C(3)=A(3)-B(3)-1-1=A(3)-B(3)
=α(3)+2-B(3)=(α(4)*2+1)+2-(α(4)+1)
=α(4)+2 偶数となりなんとか
C(4)=γ(4)=0　と同位相になります。
(5)次に、
α(5)=6 で、C(3)=1,C(4)=0 ですから
A(5)=A(4)-B(4)-C(3)+C(4)=A(4)-B(4)-1+0
A(4)=α(4)+2=α(5)*2+2 B(4)=α(5)+1 したがって、
A(5)=(α(5)*2+0)+2-(α(5)+1)-1
=α(5)+2-2=α(5) 偶数となりなんとか
C(5)=γ(5)=0　と同位相になります。

以上で、C(n-2),C(n-1) が、（0,0）（0,1）（1,1）（1,0）
の場合、すべてを当たった結果、
A(n)とα(n)の差は、０か２であり、したがって
C(n)とγ(n)は常に等しいことが分かった。

・・・
（数学的には不充分かもしれないので誰か指摘してください。）
（５／１８　21:41）